CONCEPTO
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos
difíciles de cuantificar.
Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo
serían:
-¿Cuántas comisiones pro limpieza del instituto se pueden formar si hay 150
alumnos que desean ayudar en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho
alumnos?
-¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea
que estas consten solo de alumnos de Ingeniería Química?, b) se desea que el
presidente sea un químico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean
químicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de
once alumnos.
-¿Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una
batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de
lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de
licuadoras?
Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y
diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que
éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles
en que ocurre un evento determinado.
PRINCIPIO
MULTIPLICATIVO.
Si
se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso
de la actividad a realizar puede
ser llevado a cabo de N1 maneras
o formas, el segundo paso de N2 maneras
o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras
o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas
El
principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad
deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
PRINCIPIO
ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas
alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede
ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de
N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de
W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o formas
¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y
cuando del aditivo?
Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para
ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio
multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene
alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
PERMUTACIÓN:
Es todo arreglo de
elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los
elementos que constituyen dicho arreglo.
COMBINACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde no nos
interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que
constituyen dicho arreglo.
La fórmula para determinar
el número de combinaciones es:
nCr=n/(n-r)r
nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos
Donde se observa que,
nCr=nPr/r
La expresión anterior nos
explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir
de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en
las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos
las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando
el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también
si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con
multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.
EJERCICIOS.
1.-Una persona desea construir su casa, para
lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de
dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede
hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina
galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera
¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2= maneras de construir
paredes = 3
N3= maneras de hacer
techos = 2
N4= maneras de hacer
acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras
de construir la casa
El principio
multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se
tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede
llevar a cabo una actividad cualquiera.
2.-¿Cuántas placas para
automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de
cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de
entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No
es posible repetir letras y números, c. Cuántas de las placas diseñadas en el
inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero, d. Cuantas de las
placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.
Solución:
a. Considerando 26
letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9
b.26 x 26 x 26 x 10 x 10
x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil que es posible diseñar
c.26 x 25 x 24 x 10 x 9
x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil
d. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas
para automóvil
e. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x
8 x 7 = 120,960 placas para automóvil
3.- ¿Cuántos números
telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados
del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es
posible repetir dígitos, b. El cero no debe ir en la primera posición y no es
posible repetir dígitos, c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b
empiezan por el número siete?, d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso
b forman un número impar?
Solución:
a.
9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos
b.
9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos
c.
1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos
d.
8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos
4.-Una persona desea comprar una lavadora
de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas
Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra
que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11
kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o
semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres
tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser
automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo
un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay
semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de
seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de
seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de
seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16
maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12
maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2
= 30 maneras de seleccionar una lavadora
5.-Rafael Luna desea ir
a las Vegas o a Disneylandia en las
próximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas él tiene tres medios de
transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte para
ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene
cuatro diferentes medios de transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene
Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de
ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el
mismo medio de transporte en que se fue?.
Solución:
a) V = maneras de ir a las Vegas
D = maneras de ir a Disneylandia
V = 3 x 2 = 6 maneras
D = 3 x 4 = 12 maneras
V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas
o a Disneylandia
b) V = maneras de ir y
regresar a las Vegas
D = maneras de ir y regresar a Disneylandia
V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras
D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras
V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas
o a Disneylandia en un viaje redondo
6.- ¿Cuantas
representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de
Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta
representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña
empresa.
Solución:
Por principio multiplicativo:
25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de
formar una representación de ese sindicato que conste de presidente,
secretario, etc., etc.
Por Fórmula:
n = 25,
r = 5
25P5 = 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20
x 19 x 18 x ... x 1)=
=
6,375,600 maneras de formar la representación
7.-¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar
las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula
uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la
carrera son dadas totalmente al azar) b.
¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta
carrera de fórmula uno?
Solución:
a. Por principio multiplicativo:
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras
de asignar las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera
Por Fórmula:
n = 8,
r = 8
8P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320
maneras de asignar las posiciones de salida ......etc., etc.
b. Por principio multiplicativo:
8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres
primeros lugares de la carrera
Por fórmula:
n =8,
r = 3
8P3 = 8! / (8 – 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5
x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336 maneras de asignar los tres primeros
lugares de la carrera
8.- ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dígitos, b. Es
posible repetir dígitos.
Solución:
a. Por fórmula
n = 6, r = 3
6P3 = 6! / (6 – 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3!
/ 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles
Nota: este inciso también puede ser resuelto
por el principio multiplicativo
b. Por el principio multiplicativo
6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles
¿Cuál es la razón por la cuál no se utiliza en
este caso la fórmula?. No es utilizada debido a que la fórmula de permutaciones
sólo se usa cuando los objetos no se repiten, esto quiere decir que en el
inciso a. Los puntos generados siempre van a tener coordenadas cuyos valores
son diferentes ejem. (1, 2, 4), (2, 4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras que
los puntos generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntos pueden tener
valores diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener todas las
coordenadas un mismo valor ejem. (1, 2,
4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc., etc.
8.- ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5
posiciones de juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de 12
integrantes?, b. ¿Cuántas maneras hay de asignar las posiciones de juego si una
de ellas solo puede ser ocupada por Uriel José Esparza?, c. ¿Cuántas maneras
hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que en una de
ellas este Uriel José Esparza y en otra Omar Luna?
Solución:
a. Por fórmula:
n = 12,
r = 5
12P5 = 12! / (12 – 5 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8
= 95,040 maneras de asignar las cinco posiciones de juego
a. Por principio multiplicativo:
1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar
las posiciones de juego
Por fórmula:
1 x 11P4 = 1 x 11! / (11 – 4)! = 11! / 7! = 11
x 10 x 9 x 8 = 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel José
en una determinada posición
a. Por principio multiplicativo
1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las
diferentes posiciones de juego
Por fórmula:
1 x 1 x 10P3 = 1 x 1 x 10! / (10 – 3)! = 10! /
7! = 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel José
y Omar Luna en posiciones previamente definidas
9.-Cuántas claves de acceso a una computadora
será posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas de cinco dígitos,
las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del
0 al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y números, b. Considere que
no se pueden repetir letras y números, c. ¿Cuántas de las claves del inciso b
empiezan por la letra A y terminan por el número 6?, d. ¿Cuántas de las claves
del inciso b tienen la letra R seguida de la L y terminan por un número impar?
Solución:
a. Por principio multiplicativo:
26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000
claves de acceso
Por
fórmula:
26P2 x 10P5 = 26 x 25 x
10 x 9 x 8 x 7 x 6=19,656,000 claves de acceso
a. Por fórmula:
1 x 25P1 x 9P4 x 1 = 1 x 25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 75,600 claves de
acceso que empiezan por la letra A y terminan por el número 6 b.
Por fórmula:
1 x 1 x 9P4 x 5 = 1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5
=15,120 claves de acceso que tienen la letra R seguida de la L y terminan por
un número impar.
10.-Si se cuenta con 14
alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos
grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada
uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuantos de los grupos de
limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza contarán
con 4 hombres por lo menos?
Solución:
a. n = 14, r = 5
14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!
= 14 x 13 x 12 x 11 x 10
x 9!/ 9!5!
= 2002 grupos
Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos
que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos,
con hombres y mujeres.
b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5
En este caso nos interesan aquellos grupos que
contengan 3 mujeres y 2 hombres
8C3*6C2
= (8! / (8 –3)!3!)*(6! / (6 – 2)!2!)
= (8! / 5!3!)*(6! /
4!2!)
= 8 x7 x 6 x 5 /2
= 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto
que cada grupo debe constar de 5 personas
c. En este caso nos interesan grupos en donde
haya 4 hombres o más
Los grupos de interés
son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres
= 6C4*8C1 +
6C5*8C0 = 15 x 8 + 6
x 1 = 120 + 6 = 126
Para contestar un examen un alumno debe
contestar 9 de 12 preguntas, a.¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar
las 9 preguntas?, b.¿Cuántas maneras tiene si forzosamente debe contestar las
2 primeras preguntas?, c.¿Cuántas
maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?, d.¿Cuántas
maneras tiene si debe contestar como máximo una de las 3 primeras preguntas?
Solución:
a. n =
12, r = 9
12C9 = 12! / (12 – 9)!9!
= 12! / 3!9! = 12 x 11 x
10 / 3!
= 220 maneras de
seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera,
el alumno puede
seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen
b.
2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre
las que están las dos primeras preguntas
c.
3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que
está una de las tres primeras preguntas
d. En
este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas
3C0*9C9
+ 3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1
+ 27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a contestar
11.-Una señora desea
invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. ¿Cuántas maneras tiene de
invitarlos?, b. ¿cuántas maneras tiene si entre ellos está una pareja de recién
casados y no asisten el uno sin el otro, c. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos
si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?
Solución:
a. n = 11, r = 5
11C5 = 11! / (11 – 5 )!5! = 11! / 6!5!
= 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! /
6!5!
= 462 maneras de invitarlos
Es decir que se pueden formar 462 grupos de
cinco personas para ser invitadas a cenar.
b. Esta señora tiene dos alternativas para
hacer la invitación, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es
invitar a la pareja.
2C0*9C5
+ 2C2*9C3 = (1 x 126) +
(1 x 84) = 210 maneras de invitarlos
En este caso separamos a la pareja de los
demás invitados para que efectivamente se cumpla el que no asistan o que
asistan a la cena.
c.La
señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, una de ellas es que no
invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos.
2C0*9C5
+ 2C1*9C4 = (1 x 126) +
(2 x 126) = 126 + 252 = 378 maneras de hacer la invitación
12.-En un plano hay 10
puntos denominados A, B, C, ....,etc. etc., en una misma línea no hay más de
dos puntos, a. ¿Cuántas líneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?, b.
¿Cuántas de las líneas no pasan por los puntos A o B?, c. ¿Cuántos triángulos
pueden ser trazados a partir de los puntos?, d. ¿Cuántos de los triángulos
contienen el punto A?, e. ¿Cuántos de los triángulos tienen el lado AB?.
Solución:
a.
En la redacción del problema se aclara que en una misma línea no hay más
de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podría dar contestación
a las preguntas que se hacen.
Una línea puede ser trazada a partir de cómo
mínimo dos puntos por lo tanto,
10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! =
45 líneas que se pueden trazar
b.
En este caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos
restantes se obtendrán las líneas.
2C0*8C2
= 1 x 28 = 28 líneas que no pasan por los puntos A o B
c.
Un triángulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego;
10C3 = 10! / (10 – 3)!3!
= 10! / 7!3! = 120 triángulos posibles de trazar
d.En este caso se separa el punto A de los
demás, se selecciona y posteriormente
también se seleccionan dos puntos más.
1C1*9C2 = 1 x 36 = 36 triángulos que contienen
el punto A
e. Los puntos A y B forman parte de los
triángulos a trazar por lo que;
2C2*8C1 = 1 X 8 = 8 triángulos que contienen
el lado AB
13.- Obtenga
todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de
los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.
Solución:
n = 6 banderines
x1 = 2 banderines
rojos
x2 = 3 banderines
verdes
x3 = 1 banderín
morado
6P2,3,1 =
6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes
14.-a.¿Cuántas
claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números
1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de las claves anteriores empiezan por un número
uno seguido de un dos?
15.-¿cuántas
de las claves del inciso a empiezan por el número dos y terminan por
el número tres?
Solución:
a. n = 8
números
x1 =
3 números uno
x2 =
1 número dos
x3 =
4 números cuatro
8P3,1,4 =
8! / 3!1!4! = 280 claves de acceso
b. n = 6 (se
excluye un número uno y un dos)
x1 =
2 números uno
x2 =
4 números tres
1 x 1 x 6P2,4 =
1 x 1 x 6! / 2!4! = 15 claves de acceso
16.- ¿De cuántas maneras
es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro
manzanos y tres ciruelos?
Solución:
n = 9 árboles
x1 = 2 nogales
x2 = 4 manzanos
x3 = 3 ciruelos
9P2,4,3 = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de
plantar los árboles
17.- Si un equipo de
fútbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuántas maneras
hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3
empates y 2 juegos perdidos?
Solución:
n = 12 juegos
x1 = 7 victorias
x2 = 3 empates
x3 = 2 juegos perdidos
12P7,3,2 = 12! / 7!3!2! = 7,920 maneras de que
en la temporada este equipo logre siete victorias, tres empates y dos juegos
perdidos.
18.-Si una prueba se
compone de 12 preguntas de verdadero-falso, a. ¿de cuantas maneras diferentes
un estudiante puede dar una respuesta para cada pregunta?, b. Sí de antemano el
maestro le dice que la primera pregunta es verdadera, ¿cuántas maneras tiene de
contestar esta prueba?. a. r=4,096
maneras b. r=2,048 maneras
19.-Un fabricante tiene
dificultades para obtener registros consistentes de resistencias a la tensión
entre tres máquinas localizadas en la planta de producción, el laboratorio de
investigación y el laboratorio de control de calidad , respectivamente, al
mismo tiempo hay cuatro posibles técnicos –Tomás, Enrique, Rafael y Javier-
quienes operan al menos una de las máquinas a prueba regularmente, a. ¿cuántos
pares operador-máquina deben incluirse en un experimento planeado en el que
cada operador maneje todas las máquinas?, b. Si se requiere que cada par
operador-máquina pruebe ocho especimenes, ¿cuántos especimenes de prueba se
necesitan para el procedimiento íntegro? Nota: un espécimen se destruye cuando
se mide su resistencia a la tensión.
a. r=12 pares b. r=96 especimenes
20.-Un inspector de
construcciones tiene que revisar el cableado de un nuevo de departamentos, ya sea el lunes, el
martes, miércoles o jueves, a las 8 A. M., a las 10 A. M. o a las 2 P. M. , a.
¿cuántas maneras tiene este inspector de hacer las revisiones del cableado?, b.
Obtenga las maneras en que el inspector puede realizar las revisiones del
cableado, haciendo uso ahora de un diagrama de árbol. a y b.
r=12 maneras
