TÉRMINOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

Unión 

La  unión de los conjuntos  A y  B es el conjunto de todos los elementos de  A con todos los elementos de  B sin repetir ninguno y se denota como  A∪B. Esto es:

Ejemplo: 

A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana sandía}

B= {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano}

A∪B= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana sandía durazno, melón, plátano}

Intersección

La  intersección de los conjuntos  A y  B es el conjunto de los elementos de  A que también  pertenecen a  B y se denota como  A∩ B . Esto es:

Ejemplo: 

A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana sandía}

B= {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano}

A∩B= {uva, naranja, sandía}

Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen  nada en común. Por ejemplo:

A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana sandía}

B= {limón, fresa, pera, mandarina, cereza}

A∩E=  f

Complemento

El complemento del conjunto  A con respecto al conjunto universal  U es el conjunto de todos los  elementos de U que no están en  A y se denota como  'A . Esto es:

Ejemplo: 

U= {mango, kiwi, ciruela, uva, pera, naranja, cereza, manzana, sandía, durazno, limón, melón, plátano}

A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía}

'A= {kiwi, pera, cereza, durazno, limón, melón, plátano}

Diferencia

La  diferencia de los conjuntos  A y  B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a  A y no pertenecen a B y se denota como  A− B . Esto es:

Ejemplo: 

A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía}

B= {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano}

A-B= {mango, ciruela manzana} 

B-A {durazno, melón, plátano}

Ejercicios

1.- En una escuela de 600 alumnos, 100 no estudian ningún idioma extranjero, 450 estudian francés y 50  estudian francés e inglés. ¿Cuántos estudian solo inglés?  

PROBLEMA UNO

2.- En una encuesta realizada en la ciudad de Medellín, acerca de los medios de transporte más utilizados  entre autobús, metro o moto, se obtuvieron los siguientes resultados: De los 3200 encuestados, 1950 utilizan  el metro, 400 se desplazan en moto, 1500 van en autobús, 800 se desplazan en autobús y metro, además ninguno de los que se transporta en moto utiliza autobús o metro.

• El número de personas que solo utiliza el metro es:
• Las personas que solo utilizan máximo 2 medios de transporte son:

PROBLEMA DOS

3.- De un grupo de 30 estudiantes que pertenecen a un curso, 15 no estudiaron Matemáticas y 19 no estudiaron Lenguaje. Si tenemos un total de 12 alumnos que no estudiaron Lenguaje ni Matemáticas. ¿Cuántos alumnos estudian exactamente una de las materias mencionadas?

PROBLEMA TRES

4.- Se encuesta a 150 familias consultando el nivel educacional actual de sus hijos. Los resultados obtenidos son:

• 10 familias tienen hijos en Enseñanza Básica, Enseñanza Media y Universitaria.
• 16 familias tienen hijos en Enseñanza Básica y Universitaria.
• 30 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Enseñanza Básica.
• 22 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Universitaria.
• 72 familias tienen hijos en Enseñanza Media.
• 71 familias tienen hijos en Enseñanza Básica.
• 38 familias tienen hijos en Enseñanza Universitaria.

Con la información anterior, se deduce:

• El número de familias que solo tienen hijos universitarios.
• El número de familias que tienen hijos solo en dos niveles.
• El número de familias que tienen hijos que no estudian.

PROBLEMA CUATRO

5.-De un grupo de 55 contratos internacionales, 25 son redactados en Inglés, 32 en Francés, 33 en  Alemán y 5 en los tres idiomas. ¿Cuántos contratos han sido redactados en dos (02) de los referidos  idiomas, sabiendo que todos pueden ser redactados por lo menos en uno de los tres (03) idiomas?

PROBLEMA CINCO

6.-En una reunión se determina que 40 personas son aficionadas al juego, 39 son aficionadas al vino y 48 a las  fiestas, además hay 10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas, existen 9 personas aficionadas al  juego y vino solamente, hay 11 personas que son aficionadas al juego solamente y por último 9 a las fiestas  y al vino solamente.

Determinar:

• El número de personas que es aficionada al vino solamente.
• El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente.

PROBLEMA SEIS

7.- El departamento de Ciencias Sociales de una universidad cuenta con 800 estudiantes, por lo que  decidió realizar un estudio sobre el número de estudiantes que durante el actual semestre cursaran la  asignatura de Metodología de la Investigación, Administración, y Estadística. A través de una  encuesta, se obtuvieron los siguientes datos: Metodología 490, Administración 160 y Estadística 320.  Metodología y Administración 90, Metodología y Estadística 22, Administración y Estadística 78.  Determinar la cantidad de los que:

• Estudian las 3 asignaturas.
• Estudian solo Estadística.
• Estudian Metodología y Administración.
• Estudian Administración y Estadística.

PROBLEMA SIETE

8.- Una encuesta sobre 500 estudiantes inscritos en una o más asignaturas de Matemáticas, Física y  Química durante un semestre, reveló los siguientes números de estudiantes en los cursos indicados: Matemáticas 329, Física 186, Química 295, Matemáticas y Física 83, Matemáticas y Química 217, Física y  Química 63. Cuántos alumnos estarán inscritos en:

 Los tres cursos

Matemática pero no Química

Física pero no matemática

Química pero no Física

Matemática o Química, pero no Física

Matemática y Química, pero no Física

Matemática pero no Física ni Química

PROBLEMA OCHO

9.- De un grupo de alumnos de grado 11, se sabe que el 25% de los que aprueban matemáticas, aprueban física  y que la mitad de los que aprueban matemáticas aprueban física. Si se sabe que el 25% de los alumnos no  aprueban matemáticas y no aprueban física, entonces, el porcentaje de alumnos que aprueban  matemáticas y física a la vez es:

PROBLEMA NUEVE

10.- En un reunión el 44% de los asistentes toman y el 37% fuman; además el 25% de los que toman,  fuman. Si no toman y no fuman 84 personas, el número de personas es:

PROBLEMA DIEZ

11.- Entre los habitantes de un distrito, se ha realizado una encuesta sobre el uso de ciertos artefactos y  se ha obtenido los siguientes datos:

• 80% tienen televisor.
• 90% tienen radio.
• 60% tienen cocina a gas.
• 2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores.
• 55% tienen los tres artefactos.

¿Qué porcentaje de los encuestados poseen uno sólo de estos artefactos?

PROBLEMA ONCE

12.- En una encuesta sobre consumo de bebidas, se obtuvieron los siguientes datos: a) 67% beben A o B,  y 13% beben ambas. b) 59% beben B o C y 11% beben ambas. c) 75% beben A o C y 15% beben  ambas. d) el 16% no consume ninguna bebida.

 Calcular el porcentaje que consume sólo una bebida.

Determine el porcentaje que beben las tres bebidas.

PROBLEMA DOCE

13.- En una encuesta realizada sobre la preferencia de su bebida en el desayuno, se preguntó a las personas  si tomaban té o café. Los resultados fueron: 6 tomaban té, 9 café, a una no le gustaba ninguna de esas  bebidas y cuatro tomaban ambas.

Responder las siguientes preguntas:

¿Cuántas personas no tomaban té?

¿Cuántas personas no tomaban café?

¿Cuántas personas tomaban té y café?

¿Cuántas personas tomaban sólo café?

¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas?

¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas?

¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas?

PROBLEMA TRECE

14.- Una persona come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Abril. Si comió  tocino 25 mañanas  y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo  y tocino?

PROBLEMA CATORCE

15.- En una empresa trabajan 260 empleados. Por fiestas patrias, la empresa decidió regalar una casaca a la mitad de sus empleados, y por navidad, la empresa regalo un pavo a la mitad de sus empleados. Si exactamente 8 empleados recibieron una camisa y un pavo durante el año, ¿cuántos empleados no recibieron ningún regalo durante el año?

PROBLEMA QUINCE

16.- Al realizar una encuesta entre alumnos del quinto año de un colegio se sabe que: 1/2 de los alumnos  postulan a la UNI, 7/12 de los alumnos postulan a la UNMSM, 1/6 de los alumnos postulan a las dos  universidades y 35 alumnos aun no deciden donde postular. ¿Cuántos alumnos hay en quinto año de  dicho colegio?

PROBLEMA DIECISEIS

17.- En una comunidad de 100 deportistas se sabe que 30 de ellos entrenan fútbol, 50 entrenan squash y 60 entrenan tenis. 22 entrenan tenis y fútbol, 30 entrenan squash y tenis y 15 entrenan squash y fútbol. 

Si 10 deportistas entrenan los tres deportes ¿cuántos entrenan tenis o fútbol?

PROBLEMA DIECISIETE

18.- Si de 76 postulantes  que  se  prepararon  en  las  academias ORO, PLATA y COBRE, se sabe que 42 estudiaron en ORO, 30 en PLATA y 28 en COBRE y 1 estudió en las 3 academias. Entonces el número de postulantes que estudiaron sólo en 2 academias es:

PROBLEMA DIECIOCHO

19.- De 180 alumnos de una academia preuniversitaria que gustan de los cursos razonamiento matemático, álgebra, aritmética, se sabe que: 

• 34 gustan de razonamiento matemático pero no de álgebra. 
• 28 gustan de razonamiento matemático pero no de aritmética. 
• 16 gustan álgebra pero no razonamiento matemático. 
• 24 gustan de álgebra pero no de aritmética .
• 48 gustan de aritmética pero no de razonamiento matemático. 
• 18 gustan de aritmética pero no de álgebra. 

¿A cuantos jóvenes les gustan los tres cursos mencionados?

PROBLEMA DIECINUEVE

20.- Para los conjuntos

•  U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
• A= {2,4,8} B={3,5,9}
• C= {9} 

Elabore:

• Diagrama de Venn.
• Identifique un subconjunto propio o menor de B.
• Liste los subconjuntos posibles de A.

PROBLEMA VEINTE